第5回・中学の関数が苦手になる理由は小学校にある？比例・反比例の基礎

「計算問題はできるのに、関数になると急にわからなくなる」

中学生のお子さんに、このような様子はありませんか？

「小学6年生の今からでも間に合う！中学入学までに身につけたい5教科の基礎」第5回は、算数編の第5弾です。

今回は、中学校の関数につながる「比例・反比例」について考えます。

中学校では、比例・反比例に加えて、一次関数や二次関数なども学習します。

これらの学習で重要なのは、公式を覚えることだけではありません。

「一方の数量が変わると、もう一方の数量がどう変わるのか」を理解することが、関数の土台になります。

【① 比例とは、どのような関係？】

まず、小学校の問題を見てみましょう。

〈小学校の問題〉

1本120円の鉛筆を買います。買う本数と代金の関係を考えましょう。

本数	1本	2本	3本	4本
代金	120円	240円	360円	480円

本数が2倍になると代金も2倍、3倍になると代金も3倍になります。

このような関係を「比例」といいます。

本数をx、代金をyとすると、

y＝120×x

と表すことができます。

ここで重要なのは、120という数字です。

代金を本数で割ると、どの場合も120になります。

240÷2＝120

360÷3＝120

480÷4＝120

つまり、比例では「y÷x」が一定になるという特徴があります（xが0でない場合）。

【② 中学校では比例を文字式で表す】

中学校では、比例の関係を次のように表します。

y＝ax

aは比例定数と呼ばれます。

先ほどの鉛筆の問題なら、

y＝120x

なので、比例定数は120です。

〈中学校の問題〉

yがxに比例し、x＝3のときy＝12です。yをxの式で表しましょう。

y＝axに、x＝3、y＝12を代入します。

12＝3a

a＝4

したがって、

y＝4x

となります。

小学校では表から比例の関係を読み取り、中学校では文字を使って式を求めます。

しかし、どちらも「2つの数量の関係を考える」という点では同じです。

【③ 反比例は、比例と何が違う？】

次は反比例です。

〈小学校の問題〉

面積が24㎠の長方形があります。

縦の長さを変えたとき、横の長さはどうなるでしょうか。

縦の長さ	1cm	2cm	3cm	4cm	6cm
横の長さ	24cm	12cm	8cm	6cm	4cm

縦の長さが2倍になると、横の長さは半分になります。

縦の長さが3倍になると、横の長さは3分の1になります。

これが反比例の関係です。

縦の長さをx、横の長さをyとすると、

x×y＝24

となります。

比例では「y÷x」が一定でしたが、反比例では**「x×y」が一定になる**ことが特徴です。

【④ 中学校では反比例をどのように表す？】

中学校では、反比例の関係を次のように表します。

y＝a/x

aは比例定数です。

先ほどの長方形の問題なら、

y＝24/x

となります。

〈中学校の問題〉

yがxに反比例し、x＝3のときy＝8です。yをxの式で表しましょう。

y＝a/xに代入すると、

8＝a/3

a＝24

したがって、

y＝24/x

となります。

小学校で「縦×横＝面積」と理解していれば、中学校の反比例の式も意味をつかみやすくなります。

【⑤ 関数が苦手な子は、表・式・グラフを別々に考えている？】

関数の学習では、同じ数量の関係を「表」「式」「グラフ」の3つで表します。

例えば、y＝2xという比例の式を考えてみましょう。

x	0	1	2	3
y	0	2	4	6

この表の値を座標として表すと、

（0，0）、（1，2）、（2，4）、（3，6）

となります。

これらの点は一直線上に並び、比例のグラフは原点を通る直線になります。

一方、反比例のグラフは直線ではなく、曲線になります。

ここで大切なのは、グラフの形だけを覚えることではありません。

• 表は、数量の対応を数字で示したもの

• 式は、数量の関係を簡潔に表したもの

• グラフは、数量の変化を目で見えるようにしたもの

表・式・グラフは別々の学習ではなく、同じ関係を異なる方法で表しているのです。

【⑥ 中学2年生の一次関数にもつながる】

中学2年生では、一次関数を学習します。

例えば、タクシーの料金が、初乗り500円で、その後1kmごとに200円増えるという単純化した例を考えてみましょう。

追加で走る距離をxkm、合計料金をy円とすると、

y＝200x＋500

と表せます。

比例の式は、

y＝200x

でした。

一次関数では、xが0のときにも500円かかるため、式に「＋500」が加わっています。

どちらも、xが1増えるとyが200増えるという関係があります。

小学校で比例の意味を理解しておくと、中学校の一次関数でも数量の変化を考えやすくなります。

【⑦ お子さんと一緒に確認してみましょう】

問題1：比例

1個80円のみかんをx個買ったとき、代金をy円として式で表しましょう。

問題2：比例

yがxに比例し、x＝4のときy＝20です。x＝7のとき、yはいくつでしょうか。

問題3：反比例

面積が36㎠の長方形があります。縦が9cmのとき、横は何cmでしょうか。

問題4：比例か反比例か

次の関係は比例・反比例のどちらでしょうか。

A：1冊100円のノートを買う冊数と代金

B：面積が一定の長方形の縦の長さと横の長さ

〈答えと解説〉

問題1：y＝80x

1個80円なので、代金は80×個数です。

問題2：35

20÷4＝5なので、比例定数は5です。

y＝5x

x＝7のとき、y＝35です。

問題3：4cm

36÷9＝4

縦×横＝36なので、横は4cmです。

問題4

A：比例

B：反比例

答えだけでなく、「なぜ比例なのか」「なぜ反比例なのか」を説明できるか確認してみましょう。

【⑧ 中学入学前に取り組みたいこと】

比例・反比例が苦手なお子さんには、最初から公式を暗記させるよりも、具体的な数量の関係を考える練習をおすすめします。

例えば、鉛筆の本数と代金、一定の面積をもつ長方形の縦と横など、身近な例を使うと理解しやすくなります。

まずは表を完成させ、数字がどのように変わるかを確認しましょう。

そのうえで、比例なら「y÷x」、反比例なら「x×y」が一定になることを確かめ、式やグラフにつなげていきます。

関数は、公式を覚える前に「数量の変化を読み取る力」を身につけることが重要です。

小学6年生の今からでも、比例・反比例の考え方を復習することで、中学校の関数を学ぶための土台をつくることができます。

個別指導WAM箕面桜ヶ丘校でも、式の解き方だけでなく、表やグラフから数量の関係を理解することを大切にしています。

次回は